РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1327 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2019

Сложность: V

Классификатор стереометрии: 3\.17\. Усеченный конус, 4\.4\. Объемы круглых тел

Разные задачи

Прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 10, высота, проведенная к ней, равна 3, вращается вокруг прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей в плоскости треугольника через вершину большего острого угла. Найдите объем V тела вращения и в ответ запишите значение выражения $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$

Решение. Найдем длину катетов прямоугольного треугольника АВС. По теореме Пифагора имеем $BC в квадрате плюс AB в квадрате =100.$ Площадь треугольника, с одной стороны, равна половине произведения катетов, а с другой  — половина произведения высоты на сторону, к которой проведена высота. Имеем:

$система выражений BC в квадрате плюс AB в квадрате =100,BC умножить на AB = 30 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений BC= корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента ,AB= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец системы . , система выражений BC= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,AB= корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента . конец системы . конец совокупности .$

Так как напротив большего угла лежит большая сторона $BC= корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , \quad AC= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$ По теореме Пифагора найдем $AH= корень из: начало аргумента: 10 минус 9 конец аргумента =1.$

При вращении треугольника вокруг прямой AK образуется усеченный конус c радиусом BK  =  AH, радиусом AC и высотой BH, с вырезанным конусом радиуса BK и высотой BH. Найдем объем данного тела:

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на Пи умножить на 3 умножить на левая круглая скобка 100 плюс 1 плюс 10 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на 1 умножить на Пи = 110 Пи .$ $V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на Пи умножить на 3 умножить на левая круглая скобка 100 плюс 1 плюс 10 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на 1 умножить на Пи =$
$= 110 Пи .$ $V=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на Пи умножить на 3 умножить на левая круглая скобка 100 плюс 1 плюс 10 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на 1 умножить на Пи =$
$= 110 Пи .$

Ответ: 110.

Ответ: 110

1327

110

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2019

Сложность: V

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.17\. Усеченный конус, 4\.4\. Объемы круглых тел

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1327	110